Dinámica y conversión de energía en sistemas cuánticos forzados lentamente – Próxima Defensa –
2023
| Tesista | Pablo G. TERRÉN ALONSO |
| Directora | Prof. Dra. Liliana Arrachea. CONICET, UNSAM - Argentina |
| Lugar de realización | ICAS, ECyT, Universidad Nacional de San Martín. UNSAM - Argentina |
| Fecha Defensa | 11/07/2023 |
| Jurado | Esteban CALZETTA. UBA, CONICET - Argentina |
| Código | ITS/TD-167/23 |
Título completo
Dinámica y conversión de energía en sistemas cuánticos forzados lentamente - Próxima Defensa -
Resumen
En esta tesis analizamos fenómenos de transporte a lo largo de dispositivos electrónicos pequeños en el régimen cuántico. Más específicamente, estudiamos sistemas cuánticos de pocos niveles desplazados del equilibrio por el efecto de fuerzas dependientes del tiempo y acoplados a uno o más reservorios macroscópicos mantenidos a diferentes temperaturas y posiblemente a diferentes potenciales químicos. El campo de estudio de este tipo de sistemas a veces se denomina “termodinámica cuántica”. El objetivo de este capıítulo es proporcionar un breve mapa conceptual del contexto en el que se desarrolla este trabajo. Se presentan consideraciones generales sobre efectos de bombeo, máquinas térmicas cuánticas y su relación con conceptos geométricos.
La termodinámica en sistemas cuánticos en la nanoescala ha sido un tema de investigación de rápido crecimiento en los últimos años, surgiendo en la intersección de la mecánica estadística, la nanociencia, la información cuántica, asıí como la física atómica y molecular. Un objetivo paradigmático en este campo es concebir y realizar máquinas térmicas en el dominio cuántico que, al igual que los ciclos termodinámicos clásicos, transformen calor en trabajo útil o utilicen trabajo para refrigerar. El desarrollo de máquinas térmicas eficientes que operen en el régimen cuántico es, a su vez, de gran relevancia para las tecnologıías cuánticas. Numerosas propuestas teóricas han estimulado esfuerzos en diversas plataformas experimentales, incluyendo dispositivos de estado sólido y sistemas nanomecánicos, así como también en experimentos de átomos fríos y trampas de iones.
En este trabajo consideraremos una clase particular de máquinas térmicas: aquellas para las cuales los parámetros externos que controlan el estado microscópico de la sustancia de trabajo cambian lentamente en el tiempo. Como consecuencia, el estado interno del sistema será muy parecido al estado de equilibrio térmico. Esta condición resulta de gran utilidad para evaluar la dinámica de la energía y nos proporciona una interesante estructura geométrica de la que sacar provecho.
A partir de los trabajos seminales de Aharonov y Bohm, así como de Berry, los efectos geométricos han atravesado muchas áreas de la física. En el transporte cuántico, distintas contribuciones de origen geométrico afectan las corrientes de carga y energía. Para una configuración típica que consta de un sistema cuántico central acoplado a reservorios macroscópicos, se demostró que la carga bombeada en un sistema accionado periódicamente tiene un origen geométrico, similar a la fase de Berry. Este efecto de transporte se puede expresar en términos de una integral de línea cerrada en el espacio de parámetros forzantes y es independiente de la presencia de una diferencia de potencial externo. Un enfoque similar se adoptó para analizar el transporte de calor en un sistema paramétrico de dos niveles débilmente acoplado a baños bosónicos. La descripción geométrica de las fuerzas inducidas por parámetros externos está estrechamente relacionada con estas ideas, incluyendo el magnetismo geométrico con la extensión de las funciones de respuesta geométrica a sistemas abiertos y discutiéndose en relación con el bombeo de pares de Cooper.
Los efectos disipativos son una característica fundamental de los procesos termodinámicos de tiempo finito. Hace algunas décadas se desarrolló un enfoque interesante que vincula la disipación con la geometría para sistemas macroscópicos forzados lentamente. Más recientemente, estas ideas se generalizaron al caso cuántico, y en particular para sistemas acoplados a baños macroscópicos cerca del equilibrio usando la teoría de respuesta lineal. Conceptos geométricos como la métrica termodinámica y la longitud termodinámica fueron introducidos recientemente como herramientas prometedoras para caracterizar la energía disipada y diseñar protocolos óptimos.
Este vasto volumen de investigación que vincula la geometría con el transporte sugiere naturalmente conexiones similares para las máquinas térmicas. En primer lugar, las máquinas térmicas requieren de variaciones periódicas de parámetros de control, por lo que es esperable que los efectos geométricos (en el sentido de Berry) desempeñen un papel importante. Por otro lado, la eficiencia con la que operan estos sistemas se reduce a causa de la disipación. En este caso, la geometría entra en la física a través de un concepto diferente: la longitud termodinámica.
En los Capítulos 5 y 6, bajo suposiciones bastante generales, mostraremos que el funcionamiento de las máquinas térmicas cuánticas y la conversión subyacente de calor en trabajo está fundamentalmente ligado a tales efectos geométricos. Los mecanismos de conversión y disipación pueden ser respectivamente descriptos por diferentes componentes de un solo tensor geométrico térmico. Como se dijo anteriormente, la componente de conversión calor-trabajo se puede expresar en términos de una fase de tipo Berry, que tiene una curvatura de tipo Berry asociada.
Además, es sabido que la disipación y la producción de entropía admiten una descripción geométrica en términos del concepto de longitud termodinámica. Este enfoque geométrico ha demostrado ser útil para optimizar procesos termodinámicos de tiempo finito, incluyendo el ciclo de Carnot de tiempo finito y motores forzados lentamente. Sin embargo, estos ciclos se caracterizan por tener la sustancia de trabajo acoplada a un solo reservorio, o completamente desacoplada de los reservorios. En este trabajo generalizaremos esta definición de longitud y área en el espacio de parámetros para incluir máquinas que se mantienen acopladas a los reservorios a lo largo de todo el ciclo. Además, veremos que estos conceptos geométricos son muy útiles para buscar parametrizaciones óptimas.
Un caso importante que abordamos en este trabajo es el circuito RC cuántico, el cual está acoplado a un solo reservorio fermiónico. Tratada como una máquina adiabática, el efecto del forzado dependiente del tiempo se traduce en una acumulación de carga neta en el capacitor. En analogía con el efecto de bombeo, este último tiene una naturaleza geométrica. Además, la dinámica de la energía es totalmente disipativa y se puede caracterizar mediante el mismo concepto de longitud termodinámica. Calculamos la dinámica adiabática de carga, el espín y la energía, considerando el sistema como una realización generalizada de un capacitor cuántico. Mostramos que la acumulación de carga fuera de equilibrio tiene una naturaleza geométrica y que la disipación tiene la forma de una ley de Joule instantánea. Esto último conduce a relaciones generalizadas de fluctuación-disipación.
En el Capítulo 5 aplicamos los resultados de la dinámica adiabática para una clase particular (pero amplia) de Hamiltonianos. Aprovechamos la estructura matemática emergente de este enfoque para desarrollar un marco teórico general, útil para caracterizar las máquinas térmicas cuánticas en el régimen de forzado lento. Definimos el llamado tensor geométrico térmico y derivamos expresiones para caracterizar las cualidades importantes de los motores térmicos y refrigeradores (por ejemplo, conversión de calor en trabajo, disipación, eficiencias) en términos
de este tensor. También ejemplificamos los conceptos desarrollados a través de un ejemplo explícito: un punto cuántico forzado conectado a dos reservorios fermiónicos.
En el Capítulo 6 retomamos algunos de los resultados obtenidos en el Capítulo 5 para abordar el problema de encontrar protocolos óptimos para una máquina térmica dada. La potencia de un motor térmico y la eficiencia de los modos operativos de motor y refrigerador se reducen a un problema isoperimétrico con métricas y curvaturas subyacentes no triviales. Ilustramos el procedimiento en un bit cuántico acoplado a dos reservorios, nuevamente operando como una máquina térmica mediante un protocolo adiabático.
Complete Title
Energy dynamics and energy conversion in quantum systems under slow driving
Abstract
This thesis is about transport phenomena along tiny electronic devices in the quantum regime. More specifically, we study few-level quantum systems driven out of equilibrium by the effect of t-dependent forces and coupled to one or more macroscopic reservoirs kept at different temperatures and possibly at different chemical potentials. The field of study of these type of systems is sometimes referred to as “quantum thermodynamics”. The aim of this chapter is to provide a short conceptual map of the context in which this work is developed. General remarks about pump effects, quantum thermal machines and the link to geometry are presented.
Thermodynamics in quantum nanoscale systems has been a rapidly growing research topic for some years now, emerging at the intersection of statistical mechanics, nanoscience, quantum information, as well as atomic and molecular physics. A paradigmatic goal in this field is to conceive and realize thermal machines in the quantum realm, which, like the classical thermodynamic cycles, transform heat to useful work or use work to refrigerate. The development of efficient thermal machines operating in the quantum realm is, in fact, of paramount importance also for quantum technologies. Numerous theoretical proposals stimulated experimental efforts on several platforms, including solid-state electronics and nanomechanical systems, as well as cold atoms and trapped ions.
In this work we will consider a particular class of thermal machines: those for which the external parameters controlling the microscopic state of the working substance change slowly in time. Consequently, the internal state of the system will stay close to the thermal equilibrium. This condition will be very useful for the evaluation of the energy dynamics, and will give us an interesting geometric structure that we will take advantage of.
Starting from the seminal works of Aharonov and Bohm as well as Berry, geometric effects have pervaded many areas of physics. In quantum transport, distinct contributions of geometric origin affect charge and energy currents. For a typical setup consisting of a central quantum system coupled to macroscopic reservoirs, the pumped charge in a periodically driven system was shown to be of geometric origin, akin to the Berry phase. This transport effect can be expressed in terms of a closed-path integral in the driving parameter space and is independent of the presence of an additional dc bias. A similar approach was adopted to analyze heat transport in a driven two-level system weakly coupled to bosonic baths. Closely related to these ideas is the geometric description of driving-induced forces, including geometric magnetism, with the extension of geometric response functions to open systems also being discussed in relation to Cooper pair pumping.
Dissipative effects are a fundamental feature of finite-time thermodynamic processes. An interesting approach linking dissipation to geometry was developed some decades ago for macroscopic systems in the slow driving regime. More recently these ideas were generalized to the quantum case, and in particular using linear response theory for systems coupled to macroscopic baths, near equilibrium. Geometric concepts like thermodynamic metric and thermodynamic length were recently introduced as promising tools to characterize the dissipated energy and to design optimal driving protocols.
This large body of work linking geometry to transport naturally hints at similar connections for thermal machines. First, thermal machines involve periodic variations of parameters and one may naturally expect geometric effects in the sense of Berry to play an important role. Second, the efficiency with which thermal machines operate is reduced by dissipation, and thus geometry enters the physics of thermal machines also in a second rather distinct way through
the concept of thermodynamic length.
In Chapters 5 and 6, under quite general assumptions, we will show that the operation of quantum thermal machines and the underlying heat-work conversion is fundamentally tied to such geometric effects. The heat–work conversion and dissipation mechanisms can be respectively described by different components of a single thermal geometric tensor. As said before, heat–work conversion component can be expressed in terms of a Berry-type phase, which has an associated Berry-type curvature.
Besides, it is well known that dissipation and entropy production admit a geometric description in terms of the concept of thermodynamic length. This geometric approach has proven useful to optimize finite-time thermodynamic processes (examples can be found in for classical and for quantum systems), including the finite-time Carnot cycle and slowly driven engines. However, these cycles are characterized by the WS being coupled to a single reservoir or completely decoupled from reservoirs. In this work we will generalize this definition of a length and an area in the parameter space, to include machines whose cycles are constantly attached to two or more thermal reservoirs. In addition, we will see that these geometric concepts are very useful to search for optimal drivings.
An important case that we address in this work is the quantum RC circuit, which is coupled to a single fermionic reservoir. Treated as an adiabatic machine, the effect of the time-dependent driving translates into a net charge accumulation in the capacitor. In complete analogy with the pumping effect, the latter has a geometric nature. Furthermore, the energy dynamics is fully dissipative and can be characterized through the same concept of thermodynamic length. We compute the adiabatic dynamics of the charge, spin and energy, considering the system as a generalized realization of a quantum capacitor. We show that the non-equilibrium accumulation of charge has a geometric nature
and that the dissipation takes place in the form of an instantaneous Joule law. The latter lead to generalized fluctuation-dissipation relations.
In Chapter 5 we apply the adiabatic dynamics results for a particular (but wide) class of Hamiltonians. We take advantage of the emergent mathematical structure of this approach to develop a general theoretical framework, useful to characterize quantum thermal machines in the slow-driving regime. We define the so called thermal geometric tensor and derive expressions of the important features of heat engines and refrigerators (e.g. heat-work conversion, dissipation, efficiencies) in terms of this tensor. We also exemplify the developed concepts trough an explicit example, a driven quantum dot connected to two fermionic reservoirs.
In Chapter 6 we return to some of the results obtained in Chapter 5 to address the problem of finding optimal driving protocols for a given thermal machine. The power generation of a heat engine and the efficiency of both the heat engine and refrigerator operational modes is reduced to an isoperimetric problem with nontrivial underlying metrics and curvature. We illustrate the procedure in a qubit coupled to two reservoirs, again operating as a thermal machine by means of an adiabatic protocol.
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